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ATTIVITÀ 2

In questa seconda attività si chiede agli studenti, che avranno già un po’ familiarizzato con GeoGebra, di provare a “costruire un quadrato che rimanga tale” senza dare altre spiegazioni e poi di verificare se la figura costruita rimane un quadrato pur trascinando i suoi vertici. 

L’unica “regola del gioco” è che non si può utilizzare il comando “poligono regolare”.

In questa fase si prevede che i ragazzi sperimentino il fallimento: infatti praticamente nessuno dei quadrati da loro costruiti rimarrà tale trascinando i vertici.

 

Indicazioni per il docente

Questa attività permette di far emergere e di discutere in classe alcune distinzioni importanti da fare in particolare nell’ambito della geometria dinamica.

Prima di tutto la distinzione tra disegno e costruzione. 

Un disegno è la rappresentazione di una figura geometrica (che invece è l’oggetto matematico ideale) in cui gli elementi sono disposti “ad occhio” in modo da mantenere le proprietà che li mettono in relazione solo apparentemente (non si sa dall’esterno se il costruttore del disegno le abbia concettualizzate o meno). Per esempio, eseguendo 4 click sullo schermo dopo aver selezionato il comando “punto” e congiungendoli per formare un quadrato, otterrò 4 punti che “ad occhio” sembrano formare i vertici di un quadrato (magari stando attentissimo a porli a due a due su rette parallele e perpendicolari, seguendo i pixel in orizzontale e verticale sullo schermo, gli studenti sono bravissimi in questo) ma che non contengono, secondo il software, alcuna relazione tra loro. Infatti, prendendone uno qualsiasi dei vertici di tale disegno posso trascinarlo e deformare il quadrato, anche se a occhio sembrava perfetto. 

Una costruzione, invece, prevede che anche le relazioni tra gli oggetti posti sullo schermo siano esplicitate e impostate al momento della costruzione. Dunque, se parto da due punti qualsiasi, i successivi dovranno essere costruiti imponendo esplicitamente (con i comandi dal menù del software) le condizioni, per esempio, di parallelismo/perpendicolarità delle rette e di congruenza di segmenti consecutivi.

 

Il software Geogebra consente di controllare la bontà di una costruzione di figura geometrica attraverso il test del trascinamento: muovendo qualsiasi punto trascinabile, se la costruzione è buona, nel suo complesso rappresenterà sempre una figura della classe definita (nell’esempio sopra la costruzione rappresenterà sempre un quadrato). Una figura dinamica (la rappresentazione nel software di una figura geometrica realizzata con costruzione) si dirà robusta o stabile se soddisfa il test di trascinamento; altrimenti si dirà instabile.

Come i punti possono essere indipendenti e dipendenti (vedi attività 1), anche le proprietà possono essere indipendenti o dipendenti. Per esempio, se costruisco due rette tra loro perpendicolari, la loro perpendicolarità è una proprietà indipendente, o di costruzione; ma se costruisco una seconda retta perpendicolare alla prima, il suo parallelismo rispetto alla seconda retta (quella perpendicolare alla prima) è una proprietà dipendente, o conseguenza di quelle di costruzione. Le proprietà di costruzione e tutte le proprietà da esse dipendenti, che sono conseguenza logica di quelle di costruzione, vengono mantenute invarianti per qualsiasi trascinamento dei punti base.

 

Cosa aspettarsi

 

La consegna “prova a costruire un quadrato che rimanga tale” viene sempre sottovalutata dagli studenti a quali sembra molto facile disegnare un quadrato in GeoGebra. Spesso, ad occhio, ottengono già una figura abbastanza buona, a volte la perfezionano con l’aiuto di righelli o squadrette che appoggiano al monitor. Quello che sottovalutano è il significato di quel “che rimanga tale” che è legato alla potenzialità dell’uso di un software di geometria dinamica. 

L’insegnante o il compagno che “distrugge” il loro lavoro trascinando un vertice del quadrato, crea molto fastidio agli studenti. Qualcuno difende il fatto di aver dedicato molto impegno a fare tutti i lati uguali o gli angoli retti ma occorrerà riflettere se queste informazione siano o meno state comunicate anche a GeoGebra.

Si procede quindi a tentavi ed errori, con un feedback visivo immediato, attribuito tra l’altro al software e quindi meno impattante a livello emotivo. Gli studenti iniziano via via a capire o meglio a toccare con mano la necessità di costruire la figura attraverso determinate proprietà che vanno comunicate al software e quindi a mediare il passaggio da disegno a costruzione.

È possibile che in questa fase chiedano quindi spiegazione sull’utilizzo di alcuni comandi che trovano esplorando i vari menù, tipo “segmento-lunghezza fissa”, “angolo di data misura”, “retta perpendicolare”. Un’altra discussione interessante riguarda la necessità che spesso nasce spontanea di tradurre in un comando di GeoGebra quello che in disegno tecnico farebbero con il compasso.

 

 

Dopo vari tentativi, alcuni studenti riescono a migliorare il loro quadrato avvicinandosi ad una figura almeno in parte robusta, anche se non sempre completamente. L’obiettivo dell’attività tuttavia non è che arrivino alla costruzione di una figura corretta, ma che sperimentino il fallimento per capire. Molto significative sono espressioni del tipo:

• “vedo che la figura cambia ma resta sempre un quadrato”;

• “vedo molti quadrati diversi che hanno lati di misura diversa, che hanno lati in posizioni diverse, ma che sono sempre quadrati”;

• “il quadrato di partenza si muove e si trasforma in un quadrato più grande, più piccolo, girato in modo diverso”.

 

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2018_3_1011_IP.01 “LE NUOVE FRONTIERE DEL DIRITTO ALL’ISTRUZIONE. Rimuovere le difficoltà d’apprendimento, favorire una scuola inclusiva e preparare i cittadini responsabili e attivi del futuro - Fase 2". Questa iniziativa è realizzata nell'ambito del Programma operativo FSE 2014 – 2020 della Provincia autonoma di Trento grazie al sostegno finanziario del Fondo sociale europeo, dello Stato italiano e della Provincia autonoma di Trento. La Commissione europea e la Provincia autonoma di Trento declinano ogni responsabilità sull’uso che potrà essere fatto delle informazioni contenute nei presenti materiali.